A meio de uma aula de introdução ao Visual Basic, onde começámos por criar uma função que gerasse um número igualmente aleatório entre 1 e n, basicamente, programar um dado com n lados, a questão surgiu: "Já que estamos numa de dados, quantos dados diferentes existem cujas faces sejam exactamente iguais e do mesmo tamanho?"
Ao que em uníssono foi dada a resposta à moda dos matemáticos armados em chico-espertos: "Infinitos...!" (Com outras variantes, do género: "... infinitos??")
"Wrong! Já os gregos sabiam que eram apenas cinco!"
A esses sólidos especiais dá-se o nome de Sólidos Platónicos resta apenas dizer que na definição existe também o facto de que cada vértice comunga com o mesmo número de faces. Eles são o D4, D6, D8, D12 e D20.
Porque é que não podem existir mais? Existe alguma explicação matemática para que seja impossível uma outra configuração de faces / arestas caber na definição?
Percebendo que as faces destes sólidos tenham que ser regulares, ou seja, com os lados todos iguais (triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos, etc...), porque não um sólido com base em hexágonos ou outro polígono com os lados todos iguais?
Basicamente tem a ver com a soma dos angulos internos dos polígonos. Quando planificas o sólido, e especificas um ponto (um vértice do solido), a soma dos angulos à sua volta tem que ser inferior a 360º para o poderes construir e por outro lado, cada vértice num sólido tem que "comungar" com pelo menos 3 faces. Com faces com mais lados que o pentágono, isso já não é possivel, porque os ângulos internos do polígono também vão aumentando. (Cada ângulo interno de um hexágono regular é 120º, e portanto 3 hexágonos já perfaz os 360º)
O D12, por exemplo, cada vértice "comunga" com 3 faces e o angulo interno de um pentágono regular é 108º. Ou seja, o ângulo interno de um vértice comum do sólido é 3x108 = 324 que é inferior a 360º e por isso temos um exemplo válido.
Percebendo que as faces destes sólidos tenham que ser regulares, ou seja, com os lados todos iguais (triângulos equiláteros, quadrados, pentágonos, etc...), porque não um sólido com base em hexágonos ou outro polígono com os lados todos iguais?
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Eu tambem confesso que não estou a perceber bem . Mesmo lendo o artigo dos Platonic Solid fiquei confuso.
Se as faces têm que ser regulares, e os lados todos iguais, qual é o problema deste dado D30 por exemplo?
https://i53.tinypic.com/23r8u38.jpg
https://dicegamers.com/files/opaque-d30-red.jpg
[quote]"Já que estamos numa de dados, quantos dados diferentes existem cujas faces sejam exactamente iguais e do mesmo tamanho?"[/quote]
Cada face é um losângulo, exactamente igual e do mesmo tamanho em todos os lados, não?
São os vértices que fazem a diferença em vez das faces?
E qual é o "problema" do exemplo da "bola de futebol" que o Stormrover mostrou acima?
Essa parece ser igualzinha tanto nas faces como nos vértices. (ao contrário do "D3" ilustrado acima que óbviamente tem 6 "faces" 3 grandes e 3 pequeninas)
O teu D30 não é um sólido platónico por dois motivos:
1º As faces não são polígonos regulares. (Um polígono regular é um polígono que tem os lados todos iguais, assim como os angulos internos, e os losangos falham exactamente nos angulos, que só são iguais dois a dois)
2º Tens vértices comuns a 5 faces e outros comuns a apenas 3...
A bola de Futebol do Nuno, se reparares bem, não tem as faces todas iguais. Umas são hexágonos e as outras são pentágonos. Logo também falha.
e o 
O D12, por exemplo, cada vértice "comunga" com 3 faces e o angulo interno de um pentágono regular é 108º. Ou seja, o ângulo interno de um vértice comum do sólido é 3x108 = 324 que é inferior a 360º e por isso temos um exemplo válido.
. Mesmo lendo o artigo dos Platonic Solid fiquei confuso.